Jeune garçon, Curry voulait prendre des cours de danse mais son père refusa. Curry se lança alors en patinage, un sport dans lequel il excellait naturellement. À la mort de son père, Curry s’installa à Londres pour y être entraîné par Arnold Gerschwiler. Curry remporta son premier titre britannique en 1971.
Curry avait tendance à insister sur la grâce et l’expression artistique plutôt que sur l’athlétisme, un style qui lui coûta des points auprès des juges, à l’époque. Mais aux Jeux d’hiver de 1976 à Innsbruck, il combina son élégance naturelle à une série de sauts spectaculaires, exécutant son programme long de patinage libre, sur le ballet Don Quichotte de Ludwig Minkus.
L’enchaînement audacieux de Curry lui valut la victoire. Et même si les juges soviétique et canadien attribuèrent la première place à leurs propres patineurs, l’ensemble des neuf juges le gratifièrent de 105.9 sur les 108 points possibles. Ceci demeure le total de points le plus élevé de l’histoire du patinage artistique masculin.